Fonction impaire

Définition

Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(D_f\). On dit que la fonction \(f\) est impaire lorsque :

• Pour tout \(x\in D_f\),on a \(-x\in D_f\) (ce qui signifie que \(D_f\) est symétrique par rapport à zéro) ;
  
• Pour tout \(x\in D_f\), on a \(f(-x)=-f(x)\).
  

Exemple

La fonction `x\mapsto x^3` est impaire. En effet, `D_f=\mathbb{R}`, et pour tout `x\in\mathbb{R}`, `(-x)^3=-x^3`.

Propriété

Dans un repère du plan, la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère, c'est-à-dire que l'origine du repère est un centre de symétrie de cette courbe.

Exemple

On se place dans un repère du plan. La fonction \(f\) dont la représentation graphique \(C_f\) est donnée ci-dessous est une fonction impaire : sa représentation graphique \(C_f\) est symétrique par rapport à l'origine du repère.